10.3 적분판정법 (integral test)
정리 10.13 (적분판정법, integral test)
구간 [1,∞) 에서 정의된 x 의 함수 f(x) 에 대하여 다음 두 조건
(i) f(x) 는 구간 [m,∞) 연속함수이고 비증가함수
(ii) f(x) ≥0 ∀x∈[m,∞)
를 만족하는 자연수 m 이 존재한다고 하자.
또 an = f(n) ∀n∈ℕ 로 놓자.
그러면 다음이 성립한다.
(1) ∫m∞f(x)dx 가 수렴하면 ∑n=1∞an 도 수렴한다.
(2) ∫m∞f(x)dx =∞ 이면 ∑n=1∞an = ∞
(증명)
(1)
∫m∞f(x)dx =M (수렴) 이라 하자.
그러면
am+1+am+2+...+am+k = am+1∫mm+1dx+am+2∫m+1m+2dx+...+am+k∫m+k-1m+kdx
am+1+am+2+...+am+k = ∫mm+1am+1dx+∫m+1m+2am+2dx+...+∫m+k-1m+kam+kdx
am+1+am+2+...+am+k = ∫mm+1f(m+1)dx+∫m+1m+2f(m+2)dx+...+∫m+k-1m+kf(m+k)dx
am+1+am+2+...+am+k ≤ ∫mm+1f(x)dx+∫m+1m+2f(x)dx+...+∫m+k-1m+kf(x)dx
am+1+am+2+...+am+k = ∫mm+kf(x)dx
am+1+am+2+...+am+k ≤ ∫m∞f(x)dx (∵f(x)≥0∀x∈[m,∞))
am+1+am+2+...+am+k =M
여기서 M 은 k와 상관 없는 상수이다.
즉, ∑n=m+1m+kan = am+1+am+2+...+am+k ≤ M ∀k=1,2,3,...
즉, 수열 {am+1+am+2+...+am+k}k=1∞ 은 위로 유계인 수열이다.
또한 aj≥0∀j∈ℕ 이므로 수열 {am+1+am+2+...+am+k}k=1∞ 은 비감소수열이다.
그러므로 위로 유계인 비감소수열의 수열의 수렴성(정리 10.8)에 의하여
수열 {am+1+am+2+...+am+k}k=1∞ 은 수렴한다.
그 극한을 L 이라 하자. 즉, ∑n=m+1∞an = limk→∞∑n=m+1m+kan = limk→∞(am+1+am+2+...+am+k)=L (수렴) 이라 하자.
이제 ∑n=1man=L1 으로 놓자.
그러면 ∑n=1∞an = ∑n=1man + ∑n=m+1∞an = L1+L (수렴)
(2)
∫m∞f(x)dx =∞ (발산) 이라 하자.
그러면
am+am+1+...+am+k = am∫mm+1dx+am+1∫m+1m+2dx+...+am+k∫m+km+k+1dx
am+am+1+...+am+k = ∫mm+1amdx+∫m+1m+2am+1dx+...+∫m+km+k+1am+kdx
am+am+1+...+am+k = ∫mm+1f(m+1)dx+∫m+1m+2f(m+1)dx+...+∫m+km+k+1f(m+k)dx
am+am+1+...+am+k ≥ ∫mm+1f(x)dx+∫m+1m+2f(x)dx+...+∫m+km+k+1f(x)dx
am+am+1+...+am+k = ∫mm+k+1f(x)dx → ∞ (k→∞ 일 때)
그러므로 limk→∞(am+am+1+...+am+k) ≥ limk→∞∫mm+k+1f(x)dx = ∞
따라서 ∑n=1∞an = ∑n=1m-1an + ∑n=m∞an = ∞ (발산)
예제 10.20
적분판정법을 이용하여 급수 ∑n=1∞1n 의 수렴, 발산을 조사하여라.
(풀이)
f(x)=1x 로 놓고 an=1n 로 놓는다.
그러면 an=f(n)∀n∈ℕ 이고 f(x) 는 x의 구간 [1,∞) 에서 연속함수이고 비증가함수이다.
또 f(x)≥0∀x∈[1,∞) 이다.
햔편
∫1∞f(x)dx = ∫1∞1xdx = limt→∞∫1t1xdx
∫1∞f(x)dx = limt→∞[ln|x|]1t= limt→∞(lnt-ln1)=∞
그러므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수 ∑n=1∞1n 도 발산한다.
예제 10.21
적분판정법을 이용하여 급수 ∑n=1∞1n2 의 수렴, 발산을 조사하여라.
(풀이)
f(x)=1x2 로 놓고 an=1n2 로 놓는다.
그러면 an=f(n)∀n∈ℕ 이고 f(x) 는 x의 구간 [1,∞) 에서 연속함수이고 감소함수이다.
또 f(x)≥0∀x∈[1,∞) 이다.
햔편
∫1∞f(x)dx = ∫1∞1x2dx = limt→∞∫1t1x2dx
∫1∞f(x)dx = limt→∞[-1x]1t= limt→∞(1t+1)=1 (수렴)
그러므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수 ∑n=1∞1n2 은 수렴한다.
예제 10.22
적분판정법을 이용하여 급수 ∑n=2∞1nlnn 의 수렴, 발산을 조사하여라.
(풀이)
f(x)=1xlnx 로 놓고 an=1nlnx 로 놓는다.
그러면 an=f(n)∀n∈ℕ 이고 f(x) 는 x의 구간 [2,∞) 에서 연속함수이고 감소함수이다.
또 f(x)≥0∀x∈[1,∞) 이다.
햔편
∫2∞f(x)dx = ∫2∞1xlnxdx = limt→∞∫2t1xlnxdx
∫2∞f(x)dx = limt→∞[ln(lnx)]2t= limt→∞(ln(lnt)-ln(ln2))=∞ (발산)
그러므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수 ∑n=1∞1n2 은 발산한다.
예제 10.23
적분판정법을 이용하여 급수 ∑n=2∞1n(lnn)2 의 수렴, 발산을 조사하여라.
(풀이)
f(x)=1x(lnx)2 로 놓고 an=1n(lnn)2 로 놓는다.
그러면 an=f(n)∀n∈ℕ 이고 f(x) 는 x의 구간 [2,∞) 에서 연속함수이고 감소함수이다.
또 f(x)≥0∀x∈[1,∞) 이다.
햔편
∫2∞f(x)dx = ∫2∞1x(lnx)2dx = limt→∞∫2t1x(lnx)2dx
∫2∞f(x)dx = limt→∞[-1lnx]2t= limt→∞(1lnt+1ln2)=1ln2 (수렴)
그러므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수 ∑n=1∞1n{lnn}2 은 수렴한다.
예제 10.25 (p-급수, p-series)
적분판정법을 이용하여 실수 p 따라 급수 ∑n=1∞1np 의 수렴 여부를 조사하여라.
(풀이)
(i) p≤0 인 경우
limn→∞1np≠0 이므로
발산판정법에 의하여 주어진 급수는 발산한다.
(ii) p>0 인 경우
f(x)=1xp 로 놓고 an=1np 로 놓는다.
그러면 an=f(n)∀n∈ℕ 이고 f(x) 는 x의 구간 [1,∞) 에서 연속함수이고 감소함수이다.
또 f(x)≥0∀x∈[1,∞) 이다.
햔편
∫1∞f(x)dx = ∫1∞1xpdx = limt→∞∫1t1xpdx
만일 p=1 이면 limt→∞∫1t1xpdx = limt→∞∫1t1xdx = limt→∞[lnx]1t = limt→∞(lnt-ln1) = ∞
그러므로 p=1 인 경우에는
적분 판정법에 의하여 주어진 급수 ∑n=1∞1np 은 발산한다.
만일 0<p<1 이면 limt→∞∫1t1xpdx = limt→∞∫1t1xp}
그러므로 0<p<1 인 경우에도
적분 판정법에 의하여 주어진 급수 ∑n=1∞1np 은 발산한다.
만일 p>1 이면 limt→∞∫1t1xpdx = limt→∞∫1t1xp} (수렴)
그러므로 p>1 인 경우에는
적분판정법에 의하여 주어진 급수 ∑n=1∞1np 은 수렴한다.
(i), (ii) 로 부터
p-급수 ∑n=1∞1np 은 p>1 이면 수렴하고 그렇지 않으면 발산한다.
예 (p-급수의 수렴과 발산)
i. ∑n=1∞1n 은 p=1 인 p-급수이므로 발산한다.
ii. ∑n=1∞1n 은 p=12 인 p-급수이므로 발산한다.
iii. ∑n=1∞1nn 은 p=32 인 p-급수이므로 수렴한다.
iv. ∑n=1∞1n3, ∑n=1∞n2nn, ∑n=1∞n5n6 들은 발산하고, ∑n=1∞1n43, ∑n=1∞n2004n2006, ∑n=1∞n5n7n 들은 수렴한다.
예제 10.26
급수 ∑n=1∞n3n+n8+2+(n3+5)ln(n+4) 의 수렴, 발산을 조사하여라.
(풀이)
f(x)=x3x+x8+2+(x3+5)ln(x+4), an=n3n+n8+2+(n3+5)ln(n+4) 로 놓는다.
그러면 an=f(n)∀n=1,2,3,... 이고 f(x)≥0∀x∈[4,∞) 이다.
또 f(x) 는 x의 구간 [1,∞) 에서 연속함수이고 구간 [4,∞) 에서 감소함수이다.
햔편
∫4∞f(x)dx = ∫4∞x3x+x8+2+(x3+5)ln(x+4)dx
∫4∞f(x)dx ≥ ∫1∞x3x4+x8+2x8+x3(x+4)dx
∫4∞f(x)dx = ∫4∞x3x4+3x4+x3(x+4)dx
∫4∞f(x)dx = ∫4∞1x+3x+(x+4)dx
∫4∞f(x)dx = ∫4∞1x+4x+(x+4x)dx
∫4∞f(x)dx ≥ ∫4∞1x+2x+5x}
∫4∞f(x)dx = ∫4∞18xdx
∫4∞f(x)dx = 18∫4∞1xdx
∫4∞f(x)dx = 18limu→∞∫4u1xdx
∫4∞f(x)dx = 18limu→∞[lnx]4u
∫4∞f(x)dx = 18limu→∞(lnu-ln4)
∫4∞f(x)dx = ∞
따라서 ∫4∞f(x)dx = ∞
그러므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수
∑n=1∞n3n+n8+2+(n3+5)(ln(n+4)) 은 발산한다.
예제 10.27
급수 ∑n=1∞n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 의 수렴, 발산을 조사하여라.
(풀이)
f(x)=x+5x2sinx2x2-4x-1+(x4+5)(lnx)2, an=n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 으로 놓는다.
그러면 an=f(n)∀n=1,2,3,... 이고 f(x)≥0∀x∈[3,∞) 이다.
또 f(x) 는 x의 구간 [3,∞) 에서 연속함수이고 구간 [3,∞) 에서 감소함수이다.
햔편
∫3∞f(x)dx = ∫3∞x+5x2sinx2x2-4x-1+(x4+5)(lnx)2dx
∫3∞f(x)dx ≤ ∫3∞x+5x2sinx2x2-4x-1+(x4+5)dx
∫3∞f(x)dx ≤ ∫3∞x+5x2sinx2x2-4x-1+x4dx
∫3∞f(x)dx ≤ ∫3∞x+5x2x2x2-4x-1+x4dx
∫3∞f(x)dx ≤ ∫3∞x2x+5x2xx4dx
∫3∞f(x)dx = ∫3∞6x2x2x2+x4dx ≤ ∫3∞6x2xx4dx = ∫3∞6xx2dx
∫3∞f(x)dx = ∫3∞6xxdx = 6∫3∞1xxdx = 6∫3∞x-3/2dx
∫3∞f(x)dx = 6limM→∞∫3Mx-3/2dx = 6limM→∞[-2x-1/2]3M
∫3∞f(x)dx = 6limM→∞(-2M2+23) = 6×23 = 43
따라서 ∫3∞f(x)dx ≤ 43
그러므로 이상적분 ∫3∞f(x)dx 은 수렴한다.
그러므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수
∑n=1∞n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 은 수렴한다.
10.4 비교판정법(comparison test)
정리 10.13 (비교판정법, comparison test)
두 양항급수 ∑n=1∞an 과 ∑n=1∞bn 가 주어졌다고 하자.
(1) 만일 an≤bn∀n∈ℕ이고 ∑n=1∞bn 가 수렴하면 ∑n=1∞an 도 수렴한다.
(2) 만일 an≥bn∀n∈ℕ이고 ∑n=1∞bn 가 발산하면 ∑n=1∞an 도 발산한다.
(증명)
(1)
∑n=1∞bn=B (수렴) 이라 하자.
그러면 모든 자연수 k 에 대하여
a1+a2+...+ak ≤ b1+b2+...+bk
a1+a2+...+ak = b1+b2+...+bk
a1+a2+...+ak ≤ ∑n=1∞bn = B
그러므로 a1+a2+...+ak ≤ B ∀k=1,2,3,...
그러므로 수열 {a1+a2+...+ak}k=1∞은 위로 유계인 수열이다.
한편 ∑n=1∞an 가 양항급수(즉, an≥0∀n=1,2,2,...)이므로.
수열 {a1+a2+...+ak}k=1∞은 비감소수열이다.
그러므로 수열 {a1+a2+...+ak}k=1∞은 수렴한다.
급수의 수렴의 정의에 의하여 급수 ∑n=1∞an 은 수렴한다.
(2)
∑n=1∞bn=∞이라 하자.
그러면 모든 자연수 k 에 대하여
a1+a2+...+ak ≥ b1+b2+...+bk
그러므로 limk→∞(a1+a2+...+ak) ≥ limk→∞(b1+b2+...+bk) = ∞
즉, ∑n=1∞an = limk→∞(a1+a2+...+ak) = ∞
참고
비교판정법을 이용하여 어떤 급수의 수렴 여부를 판정하려면
이미 수렴 여부를 알고 있는 또 하나의 급수를 가져와서 제n항 끼리 대소를 비교하여여 한다.
여기서 또 하나의 급수에 해당하는 것으로는 보통 등비급수나 p-급수가 주로 쓰인다.
예제 10.28
비교판정법을 이용하여 급수 ∑n=1∞sinn+2nn2 의 수렴 여부를 판정하여라.
(풀이)
그러면 모든 자연수 n 에 대하여
sinn+2nn2 = (n+sinn)+nn2 ≥ nn2 ≥ 1n
한편 급수 ∑n=1∞1n 은 발산한다 . (∵ p=1 인 p-급수)
그러므로 비교판정법에 의하여 주어진 급수
∑n=1∞sinn+2nn2 은 발산한다.
예제 10.29
비교판정법을 이용하여 급수 ∑n=1∞1n(n+1) 의 수렴 여부를 판정하여라.
(풀이)
그러면 모든 자연수 n 에 대하여
1n(n+1) ≤ 1n⋅n = 1/{n^2}
한편 급수 ∑n=1∞1n2 은 수렴한다 . (∵ p=2 인 p-급수)
그러므로 비교판정법에 의하여 주어진 급수
∑n=1∞1n(n+1) 은 수렴한다.
예제 10.30
비교판정법을 이용하여 급수 ∑n=1∞n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 의 수렴 여부를 판정하여라.
(풀이)
그러면 모든 자연수 n 에 대하여
n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 ≤ n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)
n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 ≤ n+5n2sinn2n2-4n-1+n4
n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 ≤ n+5n2sinnn4
n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 ≤ n+5n2nn4
n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 ≤ {n2n+5n2nn4
n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 = 6n2nn4 =
한편 급수 ∑n=1∞6n3/2 는 수렴한다 . (∵ p=32>1 인 p-급수)
그러므로 비교판정법에 의하여 주어진 급수
∑n=1∞n+5n2sinn2n2-4n-1+(n4+5)(lnn)2 은 수렴한다.
정리 10.14 (극한비교판정법, limit comparison test)
두 양항급수 ∑n=1∞an 과 ∑n=1∞bn 가 주어졌다고 하자.
(1) 만일 limn→∞anbn=L 이고 0≤L<∞이고 ∑n=1∞bn 이 수렴하면
급수 ∑n=1∞an 도 수렴한다.
(2) 만일 limn→∞anbn=L 이고 0<L≤∞이고 ∑n=1∞bn 이 발산하면
급수 ∑n=1∞an 도 발산한다.
(3) 만일 limn→∞anbn=L 이고 0<L<∞이면
두 급수 ∑n=1∞an 과 ∑n=1∞bn 은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
(증명)
(1)
∑n=1∞bn=B (수렴) 이라 하자.
limn→∞anbn=L 이고 0≤L<∞이므로
자연수 n0 가 존재하여 n≥n0 이면 anbn < L+1
즉, n≥n0 이면 an < (L+1)bn
그러므로 모든 자연수 k 에 대하여
an0+1+an0+2+...+an0+k ≤ (L+1)bn0+1+(L+1)bn0+2+...+(L+1)bn0+k
an0+1+an0+2+...+an0+k = (L+1)(bn0+1+bn0+2+...+bn0+k)
an0+1+an0+2+...+an0+k ≤ (L+1)(bn0+1+bn0+2+...+bn0+k+...)
an0+1+an0+2+...+an0+k = (L+1)∑n=n0+1∞bn ≤ (L+1)∑n=1∞bn = (L+1)B
그러므로 수열 {an0+1+an0+2+...+an0+k}k=1∞즉, 수열 {∑j=1kan0+j}k=1∞은 위로 유계인 수열이다.
∑n=1∞an= ∑i=1n0ai+∑i=n0+1∞ai= ∑i=1n0ai+∑j=1∞an0+j= ∑i=1n0ai+limk→∞∑j=1kan0+j 이므로
급수 ∑n=1∞an 도 수렴한다.
(2)
∑n=1∞bn=∞(발산) 이라 하자.
limn→∞anbn=L 이고 0<L≤∞이므로
자연수 n0 가 존재하여 n≥n0 이면 anbn > 1
즉, n≥n0 이면 an > bn
그러므로 모든 자연수 k 에 대하여
an0+1+an0+2+...+an0+k > bn0+1+bn0+2+...+bn0+k
그러므로
limk→∞(an0+1+an0+2+...+an0+k) ≥ limk→∞(bn0+1+bn0+2+...+bn0+k) = ∞ (∵∑n=1∞bn=∞)
따라서
∑n=1∞an = limk→∞(a1+a2+...+an0+an0+1+an0+2+...+an0+k)
∑n=1∞an = a1+a2+...+an0+limk→∞(an0+1+an0+2+...+an0+k) = ∞ (∵∑n=1∞bn=∞)
그러므로 ∑n=1∞an= ∞
(3)
이것은 (1), (2)로 부터 당연히 성립한다.
예제 10.31
극한비교판정법을 이용하여 급수 ∑n=1∞ sinn+2n n2 의 수렴 여부를 판정하여라.
(풀이)
an= sinn+2n n2, bn=1n 로 놓는다. (단, n=1, 2, 3, ...)
그러면 ∑n=1∞bn= ∑n=1∞1n 은 발산하고,
limn→∞anbn = limn→∞ sinn+2n n2 1n
limn→∞anbn = limn→∞sinn+2nn
limn→∞anbn = limn→∞(sinnn+2) = 0+2 = 2
0<2<∞이고 ∑n=1∞bn 이므로 ∑n=1∞ sinn+2n n2 은 발산한다.
